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Caos na dinâmica populacional

Como o caos emerge nos modelos determinísticos de crescimento populacional?  Quais são as ferramentas  quantitativas necessárias  para entender e representar o comportamento caótico?

O modelo logístico é usado para descrever o crescimento de uma população num ambiente com recursos limitados. Quando uma população cresce continuamente (ou seja, quando as taxas de natalidade e mortalidade não ocorrem em intervalos fixos) o modelo logístico sempre resulta num crescimento gradual e previsível da população até um valor limitante, a capacidade de suporte, o valor máximo de indivíduos que o ambiente podesuportar.  

Porém, quando a população cresce de forma discreta (como uma população que reproduz em intervalos fixos – como uma vez por ano na primavera) então a dinâmica pode ser mais complexa. O modelo pode resultar numa população que alcança um equilíbrio simples, tem oscilações periódicas ou exibe um comportamento caótico, dependente da taxa de crescimento do intervalo discreto do tempo. Nessa tarefa você usará um intervalo de tempo de um ano e avaliar explore a dinâmica do modelo logístico discreto com taxas diferentes de crescimento.

O modelo logístico descreve o crescimento de uma  população sujeita a capacidade de suporte que limita a população total. Se uma população cresce discretamente, como no caso de uma população de aves que reproduz anualmente na primavera, a dinâmica populacional pode exibir oscilações caóticas sob certas condições. Nesta tarefa você avaliará as condições que resultam em caos. Você também aprenderá uma variedade de métodos quantitativos para analisar a rota a caos.

Perguntas

Quais valores da taxa de crescimento do modelo logístico resultam num equilíbrio simples e como o modelo aproxima o equilíbrio?

Quais valores da taxa de crescimento resultam no comportamento periódico e qual tipo de periodicidade pode resultar?

Quais valores da taxa de crescimento resultam na dinâmica populacional caótica no modelo logístico?

Quais métodos pode usar para visualizar e quantificar o caos?

O modelo logístico exibe uma amplitude de comportamentos distintos dependente dos valores da taxa de crescimento r.  O gráfico de teia de aranha é diferente qualitativamente em cada caso. Ilustre por que o modelo muda seu comportamento em valores particulares da taxa de crescimento.

Quando a taxa de crescimento, r, varia entre 0 e 1, o modelo logístico prevê uma aproximação gradua ao equilíbrio a uma população igual a capacidade de suporte. Mas. Se existem valores da taxa de crescimento maior do que 1 o modelo se comporta de forma não esperada. Para alguns valores de r  a solução ultrapassa a capacidade de suporte  antes de aproximar o equilíbrio, para alguns valores oscila entre dois ou mais equilíbrios (chamados de 2-ciclos, 4-ciclos, e outras), e para outros valores a solução é caótica.

A palavra caos é usada de várias formas. Nesta tarefa, um sistema caótico é um sistema que exibe a dependência sensível as condições iniciais. Se um modelo prevê dois resultados bem diferentes para as duas populações que diferem inicialmente por um uma quantidade pequena, então o modelo é caótico. Se define  o valor absolto da diferencia entre duas populações como d , então a razão de d a diferencia inicia absoluta d0 diverge exponencialmente, o sistema é caótico. 

Começamos criando uma planilha da equação de diferencia  do modelo logístico:  DP=rP(1-P/K), onde P é o tamanho populacional, r é a taxa intrínseca de crescimento e K é a capacidade de suporte. A equação de diferencia que calcula  a população de uma geração a próxima é: Pt+1=Pt + DPt , com uma população inicial de P0 . Neste exemplo começamos com uma população inicial de 1, uma taxa de crescimento de 0.1 por ano e uma capacidade de suporte de 100.

Crie uma planilha com a solução  iterativa ao modelo logístico. 

Dica: Entre a equação da diferencia da equação logística na segunda coluna da planilha de Excel

Copie a formula nas prineiras 100 células.

Use as referencias absolutas para os valores dos parâmetros.

Dica: Se tem um número na Célula B2 e quer calcular seu quadrado na  Célula C2 então em C2 escreve =B2^2. 

Para usar referencias absolutas escreve =$B$2^2 .

Crie um gráfico da população como função do tempo prevista no modelo logístico.

Use um gráfico de dispersão de X e Y com pontos conectados . Nomeie os eixos e formate corretamente o gráfico.

Agora podemos explorar como a solução ao modelo logístico depende dos três parâmetros P0, r e K.

(a)  Varie a população inicial, P0, entre 0 e 200 mantendo  r=0.1 e K=100. Descreva a  solução em cada caso. O que as soluções têm em comum e como se diferem?

(b)  Varie a capacidade de suporte, K,  entre 0 e 200 mantendo r =0.1 e P0= . Descreva a  solução em cada caso. O que as soluções têm em comum e como se diferem?

(c)  Varie a taxa de crescimento, r, entre 0 e 1 mantendo K=100 e P0 = 1. Descreve a natureza da solução em cada caso. O que as soluções têm em comum e como se diferem?

Encontre a amplitude de r  na qual o modelo exibe:

(a) Aproximação oscilante ao equilíbrio.

(b) 2-ciclos.

(c) 4-ciclos.

(d) caos.

Crie uma copia da primeira planilha e colar numa planilha nova. Agora crie uma entrada para  a diferencia inicial das populações, d0 .

Adicione uma coluna nova de população, com o valor inicial é P0+ d0 . Pode formatar as colunas de modo de demonstrar suficientes decimais para ilustrar a diferencia pequena nas populações.

Finalmente crie uma coluna onde calculará  d/d0.  Essa coluna somente precisa aproximadamente 30 passos de tempo. Pode observar que esse valor pula. Mas, observará uma tendência de crescer quando está nas regiões onde a dinâmica populacional é caótica.

Para determinar se a razão, d/d0, cresce exponencialmente, faz um gráfico de d/d0 contra o tempo e ajuste a curva exponencial aos dados. O expoente, l,  é o expoente de Liapunov, uma medida quantitativa de caos.  Um valor de l menor ou igual a zero implica que o sistema não é caótico.

Faz um gráfico de d/d0 contra t. Agora adicione a linha de tendência exponencial. Escolha a opção para incluir a equação o valor de R2  da linha de tendência no gráfico. Agora varie o valor da taxa de crescimento, re determine o valor do expoente de Liapunov, l,  para valores diferentes de r. 

Encontre a amplitude de valores de r  onde o expoente de Liapunov é positivo (indicando caos). 

Dica: Clique a direito sobre um ponto de dados no gráfico. Selecione adicionar linha de tendência do menu. Escolha o ajuste exponencial e sob as opções escolha as caixas para demonstrar a equação no gráfico e demonstrar o valor de R-quadrado no gráfico.

Se a taxa per capita de crescimento de uma população é constante, o crescimento será  linear ou exponencial ou de outra forma?

1.Define os termos:

  (a) Capacidade de suporte

  (b) Caos

  (c) Expoente de Liapunov

Uma população pequena é introduzida numa ilha sem predadores naturais. Se a população reproduz anualmente, como a população deve crescer se o modelo logístico fosse um modelo apropriado?

  (a) crescer exponencialmente sem limite.

  (b) crescer por poucos anos até alcançar uma população constante e estável.

  (c) crescer por poucos anos e depois flutua aleatoriamente de ano a ano.

  (d) o resultado depende da magnitude da taxa de crescimento da população.

Dado a equação de diferencia xn+1=1 + 1/xn  e x0=1.

  (a) Encontre x1 e x2 .

  (b) Explique em frases completas como você determinaria se a seqüência gerada pela equação alcança um equilíbrio estável, um ciclo de oscilações ou é caótica?

Dado a equação de diferencia xn+1=f(xn ), qual aspecto de um gráfico de teia de aranha indica um ponto de equilíbrio?

Porque o modelo logístico produz soluções caóticas para valores grandes da taxa de crescimento, essa é razoável biologicamente? Explique sua resposta.

O modelo logístico é um bom melhoramento ao modelo de crescimento exponencial porque proporciona um mecanismo para limitar o crescimento por via a capacidade de suporte. Mas, tem vários problemas. Um problema e que a taxa per capita de crescimento fica menor de -1. Por que isso não é real?. 

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