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O modelo logístico é usado
para descrever o crescimento de uma população
num ambiente
com recursos limitados. Quando uma população cresce continuamente (ou seja,
quando as taxas de natalidade e mortalidade não ocorrem em intervalos fixos) o
modelo logístico sempre resulta num crescimento gradual e previsível da
população até um valor limitante, a capacidade de suporte, o valor máximo de
indivíduos que o ambiente podesuportar.
Porém,
quando a população cresce de forma
discreta (como uma população que reproduz em intervalos fixos – como uma vez
por ano na primavera) então a dinâmica pode ser mais complexa. O modelo pode
resultar numa população que alcança um equilíbrio simples, tem oscilações
periódicas ou exibe um comportamento caótico, dependente da taxa de crescimento
do intervalo discreto do tempo. Nessa tarefa você usará um intervalo de tempo
de um ano e avaliar explore a dinâmica do modelo logístico discreto com taxas
diferentes de crescimento.
O
modelo logístico descreve o
crescimento de uma população sujeita a
capacidade de suporte que limita a população total. Se uma população cresce
discretamente, como no caso de uma população de aves que reproduz anualmente na
primavera, a dinâmica populacional pode exibir oscilações caóticas sob certas
condições. Nesta tarefa você avaliará as condições que resultam em caos. Você
também aprenderá uma variedade de métodos quantitativos para analisar a rota a
caos.
Perguntas
Quais
valores da taxa de crescimento do modelo logístico resultam num equilíbrio
simples e como o modelo aproxima o equilíbrio?
Quais
valores da taxa de crescimento resultam no comportamento periódico e qual tipo
de periodicidade pode resultar?
Quais
valores da taxa de crescimento resultam na dinâmica populacional caótica no
modelo logístico?
Quais
métodos pode usar para visualizar e quantificar o caos?
O modelo logístico
exibe uma amplitude de comportamentos distintos dependente dos valores da taxa
de crescimento r. O gráfico de
teia de aranha é diferente qualitativamente em cada caso. Ilustre por que o
modelo muda seu comportamento em valores particulares da taxa de crescimento.
Quando a taxa de
crescimento, r, varia
entre 0 e 1, o modelo logístico prevê uma
aproximação gradua ao equilíbrio a uma população igual a capacidade de suporte.
Mas. Se existem valores da taxa de crescimento maior do que 1 o modelo se
comporta de forma não esperada. Para alguns valores de r a solução ultrapassa a capacidade de
suporte antes de aproximar o equilíbrio,
para alguns valores oscila entre dois ou mais equilíbrios (chamados de
2-ciclos, 4-ciclos, e outras), e para outros
valores a solução é caótica.
A palavra caos é usada de várias
formas. Nesta tarefa, um sistema caótico é um sistema que exibe a dependência sensível as
condições
iniciais. Se um modelo prevê dois resultados bem diferentes para as duas
populações que diferem inicialmente por um uma quantidade pequena, então o
modelo é caótico. Se define o valor
absolto da diferencia entre duas populações como d , então a razão de d a diferencia inicia absoluta d0
diverge
exponencialmente, o sistema é caótico.
Começamos
criando uma planilha da equação de diferencia
do modelo logístico: DP=rP(1-P/K), onde P é o
tamanho populacional, r é a taxa intrínseca de crescimento
e K é a
capacidade de suporte. A equação de diferencia que calcula a população de uma geração a próxima é: Pt+1=Pt + DPt , com uma população inicial de P0
. Neste exemplo começamos com uma população
inicial de 1, uma
taxa de crescimento de 0.1 por ano e uma capacidade de suporte de 100.
Crie
uma planilha com a solução iterativa ao
modelo logístico.
Dica:
Entre a equação da diferencia da equação logística na segunda coluna da planilha de Excel Copie a formula nas prineiras
100 células.
Use
as referencias absolutas para os valores dos parâmetros.
Dica:
Se tem um número na Célula B2 e quer calcular seu quadrado na Célula C2 então em C2 escreve =B2^2. Para
usar referencias absolutas escreve =$B$2^2 .
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